|
|
|
Дифференцированные уравнения.
| Предварительный просмотр документа "Дифференцированные уравнения." |
1.ВВЕДЕНИЕ
2.ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
2.1.ЗАПИСЬ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
В СТАНДАРТНОЙ И ОПЕРАТОРНОЙ ФОРМЕ
В теории автоматического регулирования в настоящее время принято записывать
дифференциальные уравнения в двух формах.
Первая форма записи. Дифференциальные уравнения записываются так, чтобы
выходная величина и ее производные находились в левой части уравнения, а входная
величина и все остальные члены ? в правой части. Кроме того, принято, чтобы, сама
выходная величина находилась в уравнении с коэффициентом единица. Такое уравнение
имеет вид:
= (1)
При такой записи коэффициенты k,k1,...,kn называют коэффициентами передачи, а
T1,...,Tn ? постоянными времени данного звена.
Коэффициент передачи показывает отношение выходной величины звена к
входной в установившемся режиме, т.е. определяет собой наклон линейной статической
характеристики звена.
Размерности коэффициентов передачи определяются как
размерность k = размерность y(t) : размерность g(t)
размерность k1 = размерность y(t) : размерность g(t) (?)
Постоянными времени T1,...,Tn имеют размерность времени.
Вторая форма записи. Считая условно оператор дифференцирования p=
алгебраической величиной, произведем замену в уравнении (1):
=
= (2)
2.2. ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ ЗВЕНА
Решим уравнение (2) относительно выходной величины y(t):
y(t)= =
= =
=W1(s)+W2(s)+...+Wn(s)
Здесь W1(s),W2(s),...,Wn(s) - передаточные функции.
При записи уравнений с изображениями выходной и входной величин по Лапласу
передаточные функции сливаются в одну.
2.3. ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗВЕНА
Динамические свойства звена могут быть определены по его переходной функции
и функции веса.
Переходная функция h(t) представляет собой переходный процесс на выходе из
звена, возникающий при подаче на его вход единичного ступенчатого воздействия -
скачкообразного воздействия со скачком, равной единице.
Функция веса w(t) представляет собой реакцию на единичную импульсную
функцию. Она может быть получена дифференцированием по времени переходной
функции:
w(t)=
2.4.ЧАСТОТНАЯ ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ И ЧАСТОТНЫЕ
ХАРАКТЕРИСТИКИ
Важнейшей характкристикой динамического звена является его частотная
передаточная функция. Ее можно получить с помощью передаточной фкнкции, заменив
линейный оператор s на комплексный j?.
Так как передаточная функция есть отношение изображения по Лапласу выходной
величины к входной, то при переходе от изображения Лапласа к изображению Фурье, мы
получим, что частотная передаточная функция является изображением Фурье функции
веса, то есть имеет место интегральное преобразование
W(j)= .
Частотная передаточная функция может быть представлена в следующем виде:
W(j?)=U(?)+jV(?)
где U(?) и V(?) - вещественная и мнимая части.
W(j?)=A(?) ,
где A(?) - модуль частотной передаточной функции, равный отношению амплитуде
выходнгой величины к амплитуде входной,???? - аргументчастотной передаточной
функции, равный сдвигу фаз выходной величины по отношению к входной.
Для наглядного представления частотных свойств звена используются так
называемые частотные характеристики.
Амплитудная частотная характеристика (АЧХ) показывает, как пропускает звено
сигнал различой частоты. Оценка пропускания делается по отношению амплитуд
выходной и входной величин. То есть АЧХ - это модуль частотной передаточной
функции:
A(?)=?W(j?)?
АЧХ строят для всео диапазона частот ???????, т.к. модуль частотной пе-
редаточной функции представляет собой четную функцию частоты.
Другой важной характеристикой является фазовая частотная характеристика
(ФЧХ), которая находится как аргумент частотной передаточной функции:
????=argW(j?)
4. ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗВЕНЬЕВ
4.1. ПОЗИЦИОННЫЕ ЗВЕНЬЯ
Позиционные звенья - это такие звенья , в которых выходная и входная величины в
установившемся режиме связаны линейной зависимостью y(t)=kg(t).Соответственно,
переходная функция будет иметь вид W(s)=k , где N(s), L(s) - многочлены.
4.1.1.ИДЕАЛЬНОЕ УСИЛИТЕЛЬНОЕ ( БЕЗЫНЕРЦИОННОЕ ) ЗВЕНО
1. Данное звено описывается следующим уравнением:
aoy(t)=bog(t) (1)
Коэффициенты имеют следующие значения:
ao=2
bo=4
Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:
y(t)= g(t)
y(t)=kg(t) (2),
где k= -коэффициент передачи.
Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p=
.Получим:
y(t)=kg(t) (3)
2. Получим передаточную функцию для идеального звена. Воспользуемся
преобразованиями Лапласа:
y(t)=Y(s)
g(t)=G(s)
По определению передаточная функция находится как отношение выходного
сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:
Y(s)=kG(s)
W(s)=k (4)
3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению
аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при
нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1. Тогда
h(t)=k1(t) (5)
Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции:
w(t)= =k?(t) (6)
4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные
данные, вычислим коэффициент передачи и временные характеристики:
k=2
h(t)=2?1(t)
w(t)=2??(t)
Переходная функция представляет собой ступенчатую функцию с шагом k=2, а
функция веса - импульсную функцию, площадь которой равна k=2.
5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции
(4) s на j?:
W(s)=k
W(j?)=k (7)
W(j?)=U(?)+jV(?)
U(?)=k
V(?)=0
6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По
определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной
передаточной функции, т.е.
A(?)=?W(j?)?
A(?)=k (8)
Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной
функции, т.е.
?(?)=argW(j?)
?(?)=0 (9)
Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим
L(?)=20lg A(?)
L(?)=20lgk
7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их
численные значения.
k=2
A(?)=2
?(?)=0
L(?)=20lg2
U(?)=2
V(?)=0
Вывод: Примером рассмотренного звена может являться механический редуктор,
делитель напряжения, индукционные датчики и т.д. Но беэынерционное звено является
некоторой идеализацией реальных звеньев. В действительности ни одно звено не может
равномерно пропускать все частоты от нуля до бесконечности. Обычно к такому виду
сводится одно из реальных звеньев , рассмотренных ниже , если можно пренебречь
влиянием динамических процессов.
4.1.2. УСИЛИТЕЛЬНОЕ ЗВЕНО С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
1. Данное звено описывается следующим уравнением:
aoy(t)=bog(t-?) (1)
Коэффициенты имеют следующие значения:
ao=2
bo=4
?=0,1с
Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:
y(t)= g(t-?)
y(t)=kg(t-?) (2),
где k= -коэффициент передачи.
Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p=
.Получим:
y(t)=kg(t-?) (3)
2. Получим передаточную функцию для идеального звена. Воспользуемся
преобразованиями Лапласа:
y(t)=Y(s)
g(t-?)=G(s)e-?s
По определению передаточная функция находится как отношение выходного
сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:
Y(s)=kG(s) e-?s
W(s)= ke-?s (4)
3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. ПО определению
аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при
нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1.Тогда
h(t)=y(t)=k g(t-?)=k1(t) (5)
Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции:
w(t)= =k?(t-?) (6)
4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные
данные, вычислим коэффициент передачи и временные характеристики:
k=2
h(t)=2?1(t-?)
w(t)=2??(t-?)
Переходная функция представляет собой ступенчатую функцию с шагом k=2 и
запаздыванием на ?=0,1с, а функция веса - импульсную функцию с таким же
запаздыванием, площадь которой равна k=2.
5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции
(4) s на j?:
W(s)=k e-?s
W(j?)=k e-j?? =k(cos??-jsin??) (7)
W(j?)=U(?)+jV(?)
U(?)=k cos??
V(?)=-ksin??
6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По
определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной
передаточной функции, т.е.
A(?)=?W(j?)?
A(?)=k (8)
Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной
функции, т.е.
?(?)=argW(j?)
?(?)= ?? (9)
Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим
L(?)=20lg A(?)
L(?)=20lgk
7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их
численные значения.
k=2
A(?)=2
?(?)=0,1?
L(?)=20lg2
U(?)=2cos0,1?
V(?)=-2sin0,1?
Вывод:
4.1.3. УСТОЙЧИВОЕ АПЕРИОДИЧЕСКОЕ ЗВЕНО 1-го ПОРЯДКА
1. Данное звено описывается следующим уравнением:
a1 + aoy(t) =bog(t) (1)
Коэффициенты имеют следующие значения:
a1=1,24
ao=2
bo=4
Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:
+y(t)= g(t)
T1 +y(t)=kg(t) (2),
где k= -коэффициент передачи,
T1= -постоянная времени.
Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p=
.Получим:
(T1 p+1)y(t)=kg(t) (3)
2. Получим передаточную функцию для апериодического звена. Воспользуемся
преобразованиями Лапласа:
y(t)=Y(s)
=sY(s)
g(t)=G(s)
По определению передаточная функция находится как отношение выходного
сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:
T1 sY(s)+Y(s)=kG(s)
W(s)= (4)
3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению
аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при
нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа
h(t)=H(s)
H(s)=W(s) = =
Переходя к оригиналу, получим
h(t)=k ?1(t) (5)
Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции
w(t)=
или из преобразований Лапласа
w(t)=w(s)
w(s)=W(s)?1
W(s)= =
Переходя к оригиналу, получим
w(t)= e ?1(t) (6)
4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные
данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные
характеристики:
k=2
T1 =0.62
h(t)=2 ?1(t)
w(t)=3.2e ?1(t)
Переходная функция представляет собой экспоненту. Множитель 1(t) указывает
,что экспонента рассматривается только для положительного времени t>0. Функция веса -
также экспонента, но со скачком в точке t=0 на величину .
5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции
(4) s на j?:
W(s)=
W(j?)= (7)
W(j?)=U(?)+jV(?)= = -j
U(?)=
V(?)=
6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По
определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной
передаточной функции,т.е.
A(?)=?W(j?)?
A(?)= = (8)
Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной
функции, т.е.
?(?)=argW(j?)
?(?)=arctgk - arctg
?(?)=-arctgT1 (9)
Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим
L(?)=20lg A(?)
L(?)=20lg
7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их
численные значения.
k=2
T1 =0.62
A(?)=
?(?)=arctg0.62?
L(?)=20lg
U(?)=
V(?)=
4.1.4. НЕУСТОЙЧИВОЕ АПЕРИОДИЧЕСКОЕ ЗВЕНО
1-го ПОРЯДКА
1. Данное звено описывается следующим уравнением:
a1 - aoy(t) =bog(t) (1)
Коэффициенты имеют следующие значения:
a1=1,24
ao=2
bo=4
Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:
-y(t)= g(t)
T -y(t)=kg(t) (2),
где k= -коэффициент передачи,
T= -постоянная времени.
Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p=
.Получим:
(T p-1)y(t)=kg(t) (3)
2. Получим передаточную функцию для апериодического звена. Воспользуемся
преобразованиями Лапласа:
y(t) = Y(s)
=sY(s)
g(t)=G(s)
По определению передаточная функция находится как отношение выходного
сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:
T sY(s)-Y(s)=kG(s)
W(s)= (4)
3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению
аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при
нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа
h(t)=H(s)
H(s)=W(s) = =
Переходя к оригиналу, получим
h(t)=k ?1(t) (5)
Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции
w(t)=
или из преобразований Лапласа
w(t)=w(s)
w(s)=W(s)?1
W(s)= =
Переходя к оригиналу, получим
w(t)= e ?1(t) (6)
4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные
данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные
характеристики:
k=2
T =0.62
h(t)=2 ?1(t)
w(t)=3.2e ?1(t)
Переходная функция представляет собой экспоненту. Множитель 1(t) указывает
,что экспонента рассматривается только для положительного времени t>0. Функция веса -
также экспонента, но со скачком в точке t=0 на величину .
5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции
(4) s на j?:
W(s)=
W(j?)= (7)
W(j?)= = j =U(?)+jV(?)
U(?)=
V(?)=
6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По
определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной
передаточной функции, т.е.
A(?)=?W(j?)?
A(?)= = (8)
Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной
функции, т.е.
?(?)=argW(j?)
?(?)=arctgk - arctg
?(?)=-arctg(-T?) (9)
Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим
L(?)=20lg A(?)
L(?)=20lg
7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их
численные значения.
k=2
T =0.62
A(?)=
?(?)=-arctg(-0.62?)
L(?)=20lg
U(?)=
V(?)=
4.1.5. АПЕРИОДИЧЕСКОЕ ЗВЕНО 2-го ПОРЯДКА
1. Данное звено описывается следующим уравнением:
a2 +a1 + aoy(t) =bog(t) (1)
Коэффициенты имеют следующие значения:
a2=0,588
a1=50,4
ao=120
bo=312
Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:
+ +y(t)= g(t)
+T1 +y(t)=kg(t) (2),
где k= -коэффициент передачи,
T1= ,T22= -постоянные времени.
Если корни характеристического уравнения для дифференциального уравнения 2-
го порядка вещественны (это выполняется при T1>2T2), то оно является апериодическим
2-го порядка. Проверим это для нашего уравнения:
T1=0,42
2T2=0,14
0,42>014, следовательно, данное уравнение - апериодическое.
Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p=
.Получим:
( p2+T1 p+1)y(t)=kg(t) (3)
2. Получим передаточную функцию для колебательного звена. Воспользуемся
преобразованиями Лапласа:
y(t) = Y(s)
=sY(s)
=s2Y(s)
g(t)=G(s)
По определению передаточная функция находится как отношение выходного
сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:
s2Y(s)+T1 sY(s)+Y(s)=kG(s)
W(s)= (4)
3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению
аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при
нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа
h(t)=H(s)
H(s)=W(s) = = , где
T3,4=
Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим
H(s)=
=
Переходя к оригиналу, получим
h(t)=k?1(t) =
=k ?1(t) (5)
Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции
w(t)=
или из преобразований Лапласа
w(t)=w(s)
w(s)=W(s)?1= =
Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим
w(s)=
=
Переходя к оригиналу, получим
w(t)= =
= (6)
4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные
данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные
характеристики:
5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции
(4) s на j?:
W(s)=
W(j?)= (7)
Выделим вещественную и мнимую части :
W(j?) = =
U(?)=
V(?)=
6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По
определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной
передаточной функции, т.е.
A(?)=?W(j?)?
A(?)= =..............(8)
Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной
функции, т.е.
?(?)=argW(j?)
?(?)=................
?(?)=............... (9)
Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим
L(?)=20lg A(?)
L(?)=...................
7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их
численные значения.
4.1.6. КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ (УСТОЙЧИВОЕ) ЗВЕНО
1. Данное звено описывается следующим уравнением:
a2 +a1 + aoy(t) =bog(t) (1)
Коэффициенты имеют следующие значения:
a2=0,588
a1=0,504
ao=12
bo=31,20
Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:
+ +y(t)= g(t)
+T1 +y(t)=kg(t) (2),
где k= -коэффициент передачи,
T1= ,T22= -постоянные времени.
Если корни характеристического уравнения для дифференциального уравнения 2-
го порядка комплексные (это выполняется при T1<2T2), то оно является колебательным.
Проверим это для нашего уравнения:
T1=0,042
2T2=0,14
0,042<014, следовательно, данное уравнение - колебательное.
Представим данное уравнение в следующем виде:
пусть T2=T, .
Тогда уравнение (2):
Здесь T - постоянная времени, ? - декремент затухания (0
Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p=
.Получим:
( p2+2?Tp+1)y(t)=kg(t) (3)
2. Получим передаточную функцию для колебательного звена. Воспользуемся
преобразованиями Лапласа:
y(t) = Y(s)
=sY(s)
=s2Y(s)
g(t)=G(s)
По определению передаточная функция находится как отношение выходного
сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:
s2Y(s)+2?T sY(s)+Y(s)=kG(s)
W(s)= (4)
3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению
аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при
нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа
h(t)=H(s)
H(s)=W(s) =
Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим
H(s)= =
=
Заменим в этом выражении , .Тогда
H(s)= =
=
Переходя к оригиналу, получим
h(t)=k =
=k ?1(t) (5)
Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции
w(t)=
или из преобразований Лапласа
w(t)=w(s)
w(s)=W(s)?1= = =
=
Переходя к оригиналу, получим
w(t)= (6)
4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные
данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные
характеристики:
5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции
(4) s на j?:
W(s)=
W(j?)= (7)
Выделим вещественную и мнимую части :
W(j?)=
U(?)=
V(?)
6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По
определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной
передаточной функции, т.е.
A(?)=?W(j?)?
A(?)= = (8)
Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной
функции, т.е.
?(?)=argW(j?)
?(?)=argk - arg(2?Tj? - T2?2+1)= - arctg
?(?)= - arctg (9)
Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим
L(?)=20lg A(?)
L(?)=20lg
7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их
численные значения.
4.1.6. КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ (НЕУСТОЙЧИВОЕ) ЗВЕНО
1. Данное звено описывается следующим уравнением:
a2 - a1 + aoy(t) =bog(t) (1)
Коэффициенты имеют следующие значения:
a2=0,588
a1=0,504
ao=12
bo=31,20
Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:
- +y(t)= g(t)
-T1 +y(t)=kg(t) (2),
где k= -коэффициент передачи,
T1= ,T22= -постоянные времени.
Если корни характеристического уравнения для дифференциального уравнения 2-
го порядка комплексные (это выполняется при T1<2T2), то оно является колебательным.
Проверим это для нашего уравнения:
T1=0,042
2T2=0,14
0,042<014, следовательно, данное уравнение - колебательное.
Представим данное уравнение в следующем виде:
пусть T2=T, .
Тогда уравнение (2):
Здесь T - постоянная времени, ? - декремент затухания (0
Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p=
.Получим:
( p2 - 2?Tp+1)y(t)=kg(t) (3)
2. Получим передаточную функцию для колебательного звена. Воспользуемся
преобразованиями Лапласа:
y(t) = Y(s)
=sY(s)
=s2Y(s)
g(t)=G(s)
По определению передаточная функция находится как отношение выходного
сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:
s2Y(s) - 2?T sY(s)+Y(s)=kG(s)
W(s)= (4)
3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению
аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при
нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа
h(t)=H(s)
H(s)=W(s) =
Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим
H(s)= =
=
Заменим в этом выражении , .Тогда
H(s)= =
=
Переходя к оригиналу, получим
h(t)=k =
=k ?1(t) (5)
Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции
w(t)=
или из преобразований Лапласа
w(t)=w(s)
w(s)=W(s)?1= = =
=
Переходя к оригиналу, получим
w(t)= (6)
4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные
данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные
характеристики:
5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции
(4) s на j?:
W(s)=
W(j?)= (7)
Выделим вещественную и мнимую части :
W(j?)=
U(?)=
V(?)
6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По
определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной
передаточной функции, т.е.
A(?)=?W(j?)?
A(?)= = (8)
Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной
функции, т.е.
?(?)=argW(j?)
?(?)=argk - arg(1 - 2?Tj? - T2?2)= - arctg
?(?)= - arctg (9)
Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим
L(?)=20lg A(?)
L(?)=20lg
7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их
численные значения.
4.1.5. КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ КОНСЕРВАТИВНОЕ ЗВЕНО
1. Данное звено описывается следующим уравнением:
a2 + aoy(t) =bog(t) (1)
Коэффициенты имеют следующие значения:
a2=0,0588
ao=12
bo=31,20
Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:
+y(t)= g(t)
+ y(t)=kg(t) (2),
где k= -коэффициент передачи,
T2= -постоянная времени.
Это уравнение является частным случаем колебательного уравнения при ?=0.
Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p=
.Получим:
(T2p2+1)y(t)=kg(t) (3)
2. Получим передаточную функцию для колебательного звена. Воспользуемся
преобразованиями Лапласа:
y(t) = Y(s)
=s2Y(s)
g(t)=G(s)
По определению передаточная функция находится как отношение выходного
сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:
T2s2Y(s)+Y(s)=kG(s)
W(s)= (4)
3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению
аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при
нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа
h(t)=H(s)
H(s)=W(s) =
Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим
H(s)=
Заменим .Тогда
H(s)=
Переходя к оригиналу, получим
h(t)=k?1(t) (5)
Функцию веса можно получить из преобразований Лапласа
w(t)=w(s)
w(s)=W(s)?1= = =
Переходя к оригиналу, получим
w(t)= k?0sin?0t?1(t) (6)
4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные
данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные
характеристики:
5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции
(4) s на j?:
W(s)=
W(j?)= (7)
U(?)=
V(?)=0
6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По
определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной
передаточной функции, т.е.
A(?)=?W(j?)?
A(?)= =(8)
Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной
функции, т.е.
?(?)=argW(j?)
?(?)=argk - arg(1-T2?2)=0 (9)
Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим
L(?)=20lg A(?)
L(?)=20lg (10)
7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их
численные значения.
4.2. ИНТЕГРИРУЮЩИЕ ЗВЕНЬЯ
4.2.1. ИНТЕГРИРУЮЩЕЕ ИДЕАЛЬНОЕ ЗВЕНО
1. Данное звено описывается следующим уравнением:
a1 =bog(t) (1)
Коэффициенты имеют следующие значения:
a1=1,24
bo=4
Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на a1:
= g(t)
=kg(t) (2),
где k= -коэффициент передачи.
Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p=
.Получим:
py(t)=kg(t) (3)
2. Получим передаточную функцию для данного звена. Воспользуемся преобра-
зованиями Лапласа:
y(t)=Y(s)
=sY(s)
g(t)=G(s)
По определению передаточная функция находится как отношение выходного
сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:
sY(s)=kG(s)
W(s)= (4)
3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению
аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при
нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа
h(t)=H(s)
H(s)=W(s) =
Переходя к оригиналу, получим
h(t)=kt?1(t) (5)
Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции
w(t)=
w(t)= =k?1(t) (6)
4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные
данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные
характеристики:
5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции
(4) s на j?:
W(s)=
W(j?)= (7)
W(j?)=
U(?)=0
V(?)=
6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По
определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной
передаточной функции,т.е.
A(?)=?W(j?)?
A(?)= = (8)
Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной
функции, т.е.
?(?)=argW(j?)
?(?)=argk - argj?
?(?)= - arctg? (9)
Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим
L(?)=20lg A(?)
L(?)=20lg
7. Построим графики частотных характеристик.Для этого сначала получим их
численные значения.
4.2.2. ИНТЕГРИРУЮЩЕЕ ИНЕРЦИОННОЕ ЗВЕНО
1. Данное звено описывается следующим уравнением:
+ a1 =bog(t) (1)
Коэффициенты имеют следующие значения:
a2=0,0588
a1=0,504
bo=31,20
Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на a1:
+ = g(t)
T + =kg(t) (2),
где k= -коэффициент передачи,
T= -постоянная времени.
Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p=
.Получим:
(Tp2+p)y(t)=kg(t) (3)
2. Получим передаточную функцию для апериодического звена. Воспользуемся
преобразованиями Лапласа:
y(t)=Y(s)
=sY(s)
=s2Y(s)
g(t)=G(s)
По определению передаточная функция находится как отношение выходного
сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:
Ts2Y(s)+sY(s)=kG(s)
W(s)= (4)
3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению
аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при
нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа
h(t)=H(s)
H(s)=W(s) =
Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим
H(s)=
Переходя к оригиналу, получим
h(t)= - kT?1(t)+kt?1(t)+kT ?1(t)=
= (5)
Функцию веса можно получить из преобразований Лапласа
w(t)=w(s)
w(s)=W(s)?1=
Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим
w(s)=
Переходя к оригиналу, получим
w(t)=k?1(t) (6)
4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные
данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные
характеристики:
5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции
(4) s на j?:
W(s)=
W(j?)= (7)
W(j?)
U(?)=
V(?)=
6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По
определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной
передаточной функции,т.е.
A(?)=?W(j?)?
A(?)= = (8)
Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной
функции, т.е.
?(?)=argW(j?)
?(?)=argk - argj? - arg
?(?)= - arctg? - arctgT? (9)
Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим
L(?)=20lg A(?)
L(?)=20lg
7. Построим графики частотных характеристик.Для этого сначала получим их
численные значения.
4.2.3. ИЗОДРОМНОЕ ЗВЕНО
1. Данное звено описывается следующим уравнением:
a1 =b1 +bog(t) (1)
Коэффициенты имеют следующие значения:
a1=1,24
bo=4
b1=4
Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на a1:
= + g(t)
=k1 +kg(t) (2),
где k1= , k= -коэффициент передачи.
Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p=
.Получим:
py(t)=(k1p+k)g(t) (3)
2. Получим передаточную функцию для апериодического звена. Воспользуемся
преобразованиями Лапласа:
y(t)=Y(s)
=sY(s)
g(t)=G(s)
=sG(t)
По определению передаточная функция находится как отношение выходного
сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:
sY(s)=k1sG(s)+kG(s)
W(s)= (4)
3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению
аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при
нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа
h(t)=H(s)
H(s)=W(s) =
Переходя к оригиналу, получим
h(t)= ? 1(t) (5)
Функцию веса можно получить из преобразований Лапласа
w(t)=w(s)
w(s)=W(s)?1
W(s)=
Переходя к оригиналу, получим
w(t)= k1??(t)+k?1(t) (6)
4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные
данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные
характеристики:
5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции
(4) s на j?:
W(s)=
W(j?)= (7)
U(?)=k1
V(?)=
6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По
определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной
передаточной функции,т.е.
A(?)=?W(j?)?
A(?)=............(8)
Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной
функции, т.е.
?(?)=argW(j?)
?(?)=............
?(?)=............ (9)
Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим
L(?)=20lg A(?)
L(?)=20lg........
7. Построим графики частотных характеристик.Для этого сначала получим их
численные значения.
4.3.1.ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩЕЕ ИДЕАЛЬНОЕ ЗВЕНО
1. Данное звено описывается следующим уравнением:
aoy(t)=b1 (1)
Коэффициенты имеют следующие значения:
ao=2
b1=4
Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao:
y(t)=
y(t)=k (2),
где k= -коэффициент передачи.
Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p=
.Получим:
y(t)=kpg(t) (3)
2. Получим передаточную функцию для идеального звена. Воспользуемся
преобразованиями Лапласа:
y(t)=Y(s)
g(t)=G(s)
=sG(s)
По определению передаточная функция находится как отношение выходного
сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:
Y(s)=ksG(s)
W(s)=ks (4)
3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса из преобразлваний
Лапласа,т.е.
h(t)=H(s)
H(s)=W(s) =k
Переходя к оригиналу, получим
h(t)=k??(t) (5)
Функцию веса можно получить по преобразованию Лапласа из передаточной
функции:
w(t)=w(s)
w(s)=W(s)?1=ks
Переходя к оригиналу, получим
w(t)=k (6)
4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные
данные, вычислим коэффициент передачи и временные характеристики:
5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции
(4) s на j?:
W(s)=ks
W(j?)=jk? (7)
W(j?)=U(?)+jV(?)
U(?)=0
V(?)=k?
6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По
определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной
передаточной функции, т.е.
A(?)=?W(j?)?
A(?)=k??? (8)
Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной
функции, т.е.
?(?)=argW(j?)
?(?)=arctgk? (9)
Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим
L(?)=20lg A(?)
L(?)=20lgk???
7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их
численные выражения.
4.3.2.ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩЕЕ РЕАЛЬНОЕ ЗВЕНО
1. Данное звено описывается следующим уравнением:
a1 + aoy(t) =b1 (1)
Коэффициенты имеют следующие значения:
a1=1,24
ao=2
b1=4
Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на a1:
+y(t)=
T +y(t)=k (2),
где k= -коэффициент передачи,
T1= -постоянная времени.
Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p=
.Получим:
(Tp+1)y(t)=kpg(t) (3)
2. Получим передаточную функцию для апериодического звена. Воспользуемся
преобразованиями Лапласа:
y(t)=Y(s)
=sY(s)
g(t)=G(s)
=sG(s)
По определению передаточная функция находится как отношение выходного
сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:
TsY(s)+Y(s)=ksG(s)
W(s)= (4)
3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению
аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при
нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа
h(t)=H(s)
H(s)=W(s) = =
Переходя к оригиналу, получим
h(t)= ?1(t) (5)
Функцию веса можно получить из преобразований Лапласа
w(t)=w(s)
w(s)=W(s)?1
W(s)= =
Переходя к оригиналу, получим
w(t)= ??(t) e ?1(t) (6)
4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные
данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные
характеристики:
5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции
(4) s на j?:
W(s)=
W(j?)=
W(j?)= =
6.Найдем АЧХ:
A(*)=*W(j*)*
A(*)= =
Найдем ФЧХ:
*(*)=argW(j*)
*(*)=arctgk*-arctgT*
L(*)=20lgA(*)
L(*)=20lg
4.3.3.ФОРСИРУЮЩЕЕ ЗВЕНО 1-го ПОРЯДКА
Данное звено описывается следующим уравнением:
a0y(t)=b1 +b0g(t)
y(t)= + g(t)
k1=
k=
p=
y(t)=k1pg(t)+kg(t)
y(t)=Y(s)
g(t)=G(s)
Y(s)=k1sG(s)+kG(s)
W(s)=k1s+k
H(s)= =k1+
h(t)=k1*(t)+k1(t)
W(j*)=k1j*+k
U(*)=k
V(*)=k1*
A(*)=*W(j*)*
A(*)=
*(*)=argW(j*)
*(*)=arctg
L(*)=20lgA(*)
L(*)=20lg
4.3.4.ФОРСИРУЮЩЕЕ ЗВЕНО 2-го ПОРЯДКА
a0y(t)=b2 +b1 +b0g(t)
y(t)= + + g(t)
y(t)=k2 +k1 +kg(t)
y(t)=k2p2g(t)+k1pg(t)+kg(t)
Y(s)=(k2s2+k1s+k)G(s)
W(s)=k2s2+k1s+k
H(s)=k2s+k1+
h(t)=k2 +k1*(t)+k11(t)
w(s)=W(s)=k2s2+k1s+k
w(t)=k2 +k1 +k*(t)
W(j*)=k1j*+k - k2*2
U(*)=k - k2*2
V(*)=k1j*
A(*)=
*(*)=arctg
L(*)=20lg
|
|
|
ДРУЗЬЯ:
Знакомства
Встречи
Красивые девушки
|
